Sophie Germain

Marie-Sophie Germain fue una matemática, física y filósofa francesa. Fue una de las pioneras de la teoría de elasticidad e hizo importantes contribuciones a la teoría de los números. Uno de sus estudios más importantes fueron los números primos de Sophie Germain, cuyo doble incrementado en una unidad es también un número primo.

Trató de resolver  el Último Teorema de Fermat cuyo enunciado dice:

No existen números enteros que cumplan que xn+yn=zn si n es mayor que 2.

Para n=2 sí que los hay, todos los lados de los triángulos rectángulos lo cumplen. Pero no hay números enteros que lo cumplan para n= 3, 4, 5...
Se sumergió en la demostración durante muchos años y, cuando intuyó que había hecho un gran avance, decidió escribir al más grande de la época en la Teoría de Números: Gauss.

Mediante la proposición:

Si x, y, z son enteros y x⁵+y⁵=z⁵, entonces al menos uno de ellos (x, y o z) es divisible por 5.

Restringía de forma considerable las soluciones del Último Teorema de Fermat, que no pudo ser demostrado por completo haasta 1995.
Además, en su carta incluyó una colección de potencias: los números primos de Germain.

Un número es primo si solo puede dividirse entre sí mismo y la unidad. Un primo es de Germain si el siguiente de su doble también es primo.

2→2·2+1=5 (primo)→ 2 es primo de Germain

3→2·3+1=7 (primo)→ 3 es primo de Germain

5→2·5+1=11 (primo)→ 5 es primo de Germain

7→2·7+1=15 (no primo)→ 7 no es primo de Germain

11→2·11+1=23 (primo)→ 11 es primo de Germain

También destacó por el Teorema de Sophie Germain, un enunciado sobre la divisibilidad de las soluciones de la ecuación 

 

del Último Teorema de Fermat para p primo impar.

Sophie Germain probó que al menos uno de los níumeros x, y, z  tiene que ser divisible por p² si puede encontrarse un primo auxiliar 𝞱 tal que se satisfacen las dos condiciones:

1. No existen dos potencias p distintas de cero que difieran uno en módulo 𝞱.
2. No existe ningún número p tal que p sea potencia de orden p módulo 𝞱 de él.

En cambio, el primer caso del Último Teorema de Fermat (el caso en que p no divide xyz) tiene que cumplirse para cada primo p para el que pueda encontrarse un primo auxiliar. Germain identificó tal primo auxiliar 𝞱 para cada primo menor que 100.

Una de sus más famosas identidades, conocida como Identidad de Sophie Germain, expresa:

x⁴+4y⁴= (x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy)