Cardano y las Relaciones de Cardano-Vieta

Gerolamo Cardano fue un célebre matemático, médico y astrólogo italiano.
Destacó en la medicina, siendo el descubridor de la fiebre tifoidea; incluso atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews.
Sin embargo, es más conocido por sus trabajos de álgebra.

Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro "Ars magna" datado en 1545. En esta obra, además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x₁), donde x, es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica. Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha. Todavía utilizaba la Geometría para demostraciones algebraicas y todavía rehuía la utilización de números negativos. Sin embargo, el "Ars Magna" presenta una explicación completa de la ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios. En este libro, también se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida a su alumno, Ferrari, quien se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo.

En verdad se apropió de los resultados de Tartaglia y de Nicolo Ferrari, los descubridores de la solución de la ecuación cúbica y cuártica, publicándolos antes que ellos. Lo cual le ha hecho pasar a la historia.

También es famoso por plantear las Relaciones de Cardano-Vieta, cuyo enunciado es: 

Sea el polinomio ${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}\,}$ perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{k}\,}$ (pertenecientes a C​)

Estas relaciones sirven para obtener determinados polinomios conociendo sus raíces, o viceversa.
Con ellas podemos hallar las raíces de una ecuación de segundo grado de la siguiente manera:

Entonces:

- Su suma es s=x₁+x₂= -b/a

- Su producto p=x₁·x₂=c/a

 A estas relaciones, s y p, se las llama Relaciones de Cardano- Vieta.

La relación de Cardano-Vieta permite encontrar la ecuación de segurndo grado conocidas sus raíces x₁ y x₂ dada ax²+bx+c=0, si dividimos los dos miembros por a, nos queda: x²+b/a +c=0 o lo que es lo mismo: x²-s·x+p=0

Por lo tanto, toda ecuación ax²+bx+c=0 se puede factorizar de la forma a·(x-x₁)·(x-x₂)=0