Sophie Germain

Marie-Sophie Germain fue una matemática, física y filósofa francesa. Fue una de las pioneras de la teoría de elasticidad e hizo importantes contribuciones a la teoría de los números. Uno de sus estudios más importantes fueron los números primos de Sophie Germain, cuyo doble incrementado en una unidad es también un número primo.

Trató de resolver  el Último Teorema de Fermat cuyo enunciado dice:

No existen números enteros que cumplan que xn+yn=zn si n es mayor que 2.

Para n=2 sí que los hay, todos los lados de los triángulos rectángulos lo cumplen. Pero no hay números enteros que lo cumplan para n= 3, 4, 5...
Se sumergió en la demostración durante muchos años y, cuando intuyó que había hecho un gran avance, decidió escribir al más grande de la época en la Teoría de Números: Gauss.

Mediante la proposición:

Si x, y, z son enteros y x⁵+y⁵=z⁵, entonces al menos uno de ellos (x, y o z) es divisible por 5.

Restringía de forma considerable las soluciones del Último Teorema de Fermat, que no pudo ser demostrado por completo haasta 1995.
Además, en su carta incluyó una colección de potencias: los números primos de Germain.

Un número es primo si solo puede dividirse entre sí mismo y la unidad. Un primo es de Germain si el siguiente de su doble también es primo.

2→2·2+1=5 (primo)→ 2 es primo de Germain

3→2·3+1=7 (primo)→ 3 es primo de Germain

5→2·5+1=11 (primo)→ 5 es primo de Germain

7→2·7+1=15 (no primo)→ 7 no es primo de Germain

11→2·11+1=23 (primo)→ 11 es primo de Germain

También destacó por el Teorema de Sophie Germain, un enunciado sobre la divisibilidad de las soluciones de la ecuación 

 

del Último Teorema de Fermat para p primo impar.

Sophie Germain probó que al menos uno de los níumeros x, y, z  tiene que ser divisible por p² si puede encontrarse un primo auxiliar 𝞱 tal que se satisfacen las dos condiciones:

1. No existen dos potencias p distintas de cero que difieran uno en módulo 𝞱.
2. No existe ningún número p tal que p sea potencia de orden p módulo 𝞱 de él.

En cambio, el primer caso del Último Teorema de Fermat (el caso en que p no divide xyz) tiene que cumplirse para cada primo p para el que pueda encontrarse un primo auxiliar. Germain identificó tal primo auxiliar 𝞱 para cada primo menor que 100.

Una de sus más famosas identidades, conocida como Identidad de Sophie Germain, expresa:

x⁴+4y⁴= (x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy)

Diofanto y las ecuaciones diofánticas

Diofanto de Alejandría fue un matemático griego, considerado el "padre del álgebra maestral".
Su renombre vino a partir de su obra "Arithmetica", en la que realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional  (ecuaciones diofánticas). Está formada por una colección de problemas adecuados para soluciones enteras.

También es conocido por introducir un símbolo para la variable desconocida y para la sustracción en las ecuaciones. Además del empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos.

Las ecuaciones diofánticas se resuelven determinando qué números enteros la cumplen. Son ecuaciones algebraicas con dos o más incógnitas. Una condición necesaria para que ax+by=c con a, b, c pertenecientes al conjunto de números enteros tenga solución, es que el máximo común divisor de a y b divida a c.

Pueden ser lineales, en las que la solución puede ser general o particular; pitagóricas, también conocidas como ternas pitagóricas; o la ecuación diofántica cúbica, x³+y³=1729, cuyas soluciones son los pares ordenados (1,12) (12,1) (10,9) (9,10).

Cardano y las Relaciones de Cardano-Vieta

Gerolamo Cardano fue un célebre matemático, médico y astrólogo italiano.
Destacó en la medicina, siendo el descubridor de la fiebre tifoidea; incluso atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews.
Sin embargo, es más conocido por sus trabajos de álgebra.

Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro "Ars magna" datado en 1545. En esta obra, además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x₁), donde x, es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica. Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha. Todavía utilizaba la Geometría para demostraciones algebraicas y todavía rehuía la utilización de números negativos. Sin embargo, el "Ars Magna" presenta una explicación completa de la ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios. En este libro, también se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida a su alumno, Ferrari, quien se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo.

En verdad se apropió de los resultados de Tartaglia y de Nicolo Ferrari, los descubridores de la solución de la ecuación cúbica y cuártica, publicándolos antes que ellos. Lo cual le ha hecho pasar a la historia.

También es famoso por plantear las Relaciones de Cardano-Vieta, cuyo enunciado es: 

Sea el polinomio ${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}\,}$ perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{k}\,}$ (pertenecientes a C​)

Estas relaciones sirven para obtener determinados polinomios conociendo sus raíces, o viceversa.
Con ellas podemos hallar las raíces de una ecuación de segundo grado de la siguiente manera:

Entonces:

- Su suma es s=x₁+x₂= -b/a

- Su producto p=x₁·x₂=c/a

 A estas relaciones, s y p, se las llama Relaciones de Cardano- Vieta.

La relación de Cardano-Vieta permite encontrar la ecuación de segurndo grado conocidas sus raíces x₁ y x₂ dada ax²+bx+c=0, si dividimos los dos miembros por a, nos queda: x²+b/a +c=0 o lo que es lo mismo: x²-s·x+p=0

Por lo tanto, toda ecuación ax²+bx+c=0 se puede factorizar de la forma a·(x-x₁)·(x-x₂)=0