Alemania no es tan distinta a España como solemos pensar. La gente no habla tan bajo como pensamos, también gritan; y no comen solo salchichas, comen de todo.
Lo más notable son los horarios. Madrugan más que nosotros y comen cada 2 horas. Pero después de cenar a las 5 de la tarde ya no tienen una comida grande como tal. Cuesta un poco hacerse a ello, pero en seguida te acostumbras.
Lo peor es el frío. La mayoría de los días las temperaturas son bajo cero, pero cuando nieva merece la pena.
Los días cunden mucho. Al comer a las 12, la tarde se hace muy larga. Aunque es extraño que se haga de noche a las 4 de la tarde. Cuando vuelves a casa a cenar ya estás pensando en irte a dormir casi, pero aún tienes toda la tarde por delante.
Allí celebran más la Navidad con los mercados navideños, el espritu navideño está en todas partes. Mientras que aquí podemos tener adornos por las calles, pero no se vive igual.
Y, finalmente, cabe destacar la visita al campo de concentración de Fuhberg. Impresiona ir recorriendo las celdas y pensar que donde estás pisando ha estado gente muchos años sufriendo. Ver el patio y pensar que allí se les sometía a trabajos forzados. El sufrimiento que esconden esos muros es inimaginable.
Pero es importante conocer la historia para comprender mejor las vidas de quienes sobrevivieron, y de quienes no. Ahora está en nuestras manos no cometer los mismos errores del pasado, porque de los errores se aprende y, aunque podamos lamentar las muertes que se produjeron, ya no podemos hacer nada para remediarlo. Solo podemos tratar de poner de nuestra parte para crear un futuro mejor.
domingo, 30 de diciembre de 2018
martes, 11 de diciembre de 2018
Autoevaluación tras ver la corrección del examen
En la primera pregunta tuvimos un fallo de calculo en el apartado b, y en el c no nos dimos cuenta de que para extraer el 2 de la raíz cúbica había que multiplicarlo por 2², de manera que al tener exponente 3 se puede sacar de la raíz.
El ejercicio 2 era más sencillo de lo que imaginaba, porque, aunque no lo hiciérmos en el examen, cuando lo hice en casa mediante Ruffini tratando de hallar m, no pensé que en solo una operación puediese resolverse.
Y el apartado b, cuando lo hice en casa fui paso a paso factorizando el polinomio hasta comprobar que, en efecto, √2 era una raíz de multiplicidad 5. Y solo bastaba con enunciar el teorema del factor con los datos del polinomio aportados en el mismo enunciado del ejercicio.
En el ejercicio 3 resolver las ecuaciones con ayuda del discriminante ∆ es más rápido que factorizar. Pero ni lo hicimos en examen ni conocía el método del discriminante, y en casa lo resolví por el método de Ruffini que, aunque el resultado sea el mismo, ahorrar tiempo en un examen con esa forma de hacerlo del discriminante es de gran ayuda. Por lo que en el próximo examen lo emplearé.
El 4 era sencillo, pero también, a su vez, uno en el que más fallos se pueden cometer por no fijarse o por mero cálculo. En el examen lo hicimos mal, pero en casa logré resolverlo sin problema.
El 5a es muy fácil, pero con las prisas no hallamos en mcm de los denominadores y fuimos paso a paso resolviendo las sumas entre dos fracciones hasta llegar al resultado. Lo hicimos mal, pero en casa lo resolví a la primera, igual que el resto de apartados. Mientras que en el examen solo tuvimos bien el apartado b.
El sistema de ecuaciones por el método de Gauss logré resolverlo en casa con fracciones en algunos pasos, pero es más sencillo cambiar la fila 2 por la fila 3 de lugar. Así, sin fracciones, es más fácil. Pero el proceso y el resultado los hice bien, por lo tanto, si lo hago con fracciones en otro examen no habría ningún problema; aunque si se da la ocasión invertiré filas (si se puede) para evitarlas.
El sistema de ecuaciones exponenciales, a pesar de no hacerlo en el examen, en casa me salió perfectamente.
El sistema de ecuaciones logarítmicas lo hice bien en casa también.
El sistema de inecuaciones no le hice del todo bien en casa: había dos formas de hacerlo (factorizar o estudiar el signo). Yo comencé a factorizarlo pero no me acordé de expresar la solución en forma de intervalo.
Y, finalmente, el ejercicio 10 lo hice bien en casa, solo que en el sistema de ecuaciones añadí a los signos de cada ecuación un igual cuando no debe ser así. Y yo lo expresé en forma de ecuación explícita, pudiéndolo pasar a la ecuación general, pero el resultado sería el mismo de una forma u otra al fin y al cabo. Por lo que solo tendría mal el haber añadido esos iguales.
El ejercicio 2 era más sencillo de lo que imaginaba, porque, aunque no lo hiciérmos en el examen, cuando lo hice en casa mediante Ruffini tratando de hallar m, no pensé que en solo una operación puediese resolverse.
Y el apartado b, cuando lo hice en casa fui paso a paso factorizando el polinomio hasta comprobar que, en efecto, √2 era una raíz de multiplicidad 5. Y solo bastaba con enunciar el teorema del factor con los datos del polinomio aportados en el mismo enunciado del ejercicio.
En el ejercicio 3 resolver las ecuaciones con ayuda del discriminante ∆ es más rápido que factorizar. Pero ni lo hicimos en examen ni conocía el método del discriminante, y en casa lo resolví por el método de Ruffini que, aunque el resultado sea el mismo, ahorrar tiempo en un examen con esa forma de hacerlo del discriminante es de gran ayuda. Por lo que en el próximo examen lo emplearé.
El 4 era sencillo, pero también, a su vez, uno en el que más fallos se pueden cometer por no fijarse o por mero cálculo. En el examen lo hicimos mal, pero en casa logré resolverlo sin problema.
El 5a es muy fácil, pero con las prisas no hallamos en mcm de los denominadores y fuimos paso a paso resolviendo las sumas entre dos fracciones hasta llegar al resultado. Lo hicimos mal, pero en casa lo resolví a la primera, igual que el resto de apartados. Mientras que en el examen solo tuvimos bien el apartado b.
El sistema de ecuaciones por el método de Gauss logré resolverlo en casa con fracciones en algunos pasos, pero es más sencillo cambiar la fila 2 por la fila 3 de lugar. Así, sin fracciones, es más fácil. Pero el proceso y el resultado los hice bien, por lo tanto, si lo hago con fracciones en otro examen no habría ningún problema; aunque si se da la ocasión invertiré filas (si se puede) para evitarlas.
El sistema de ecuaciones exponenciales, a pesar de no hacerlo en el examen, en casa me salió perfectamente.
El sistema de ecuaciones logarítmicas lo hice bien en casa también.
El sistema de inecuaciones no le hice del todo bien en casa: había dos formas de hacerlo (factorizar o estudiar el signo). Yo comencé a factorizarlo pero no me acordé de expresar la solución en forma de intervalo.
Y, finalmente, el ejercicio 10 lo hice bien en casa, solo que en el sistema de ecuaciones añadí a los signos de cada ecuación un igual cuando no debe ser así. Y yo lo expresé en forma de ecuación explícita, pudiéndolo pasar a la ecuación general, pero el resultado sería el mismo de una forma u otra al fin y al cabo. Por lo que solo tendría mal el haber añadido esos iguales.
domingo, 9 de diciembre de 2018
Examen 1ª Evalución
Ejercicio 1:
Ejercicio 2:
Ejercicio 3:
Ejercicio 4:
Ejercicio 5:
Ejercicio 6:
Ejercicio 7:
Ejercicio 8:
Ejercicio 9:
Ejercicio 10:
Sophie Germain
Marie-Sophie Germain fue una matemática, física y filósofa francesa. Fue una de las pioneras de la teoría de elasticidad e hizo importantes contribuciones a la teoría de los números. Uno de sus estudios más importantes fueron los números primos de Sophie Germain, cuyo doble incrementado en una unidad es también un número primo.
Trató de resolver el Último Teorema de Fermat cuyo enunciado dice:
Restringía de forma considerable las soluciones del Último Teorema de Fermat, que no pudo ser demostrado por completo haasta 1995.
Además, en su carta incluyó una colección de potencias: los números primos de Germain.
Un número es primo si solo puede dividirse entre sí mismo y la unidad. Un primo es de Germain si el siguiente de su doble también es primo.
Trató de resolver el Último Teorema de Fermat cuyo enunciado dice:
No existen números enteros que cumplan que xn+yn=zn si n es mayor que 2.
Para n=2 sí que los hay, todos los lados de los triángulos rectángulos lo cumplen. Pero no hay números enteros que lo cumplan para n= 3, 4, 5...
Se sumergió en la demostración durante muchos años y, cuando intuyó que había hecho un gran avance, decidió escribir al más grande de la época en la Teoría de Números: Gauss.
Se sumergió en la demostración durante muchos años y, cuando intuyó que había hecho un gran avance, decidió escribir al más grande de la época en la Teoría de Números: Gauss.
Mediante la proposición:
Si x, y, z son enteros y x⁵+y⁵=z⁵, entonces al menos uno de ellos (x, y o z) es divisible por 5.
Restringía de forma considerable las soluciones del Último Teorema de Fermat, que no pudo ser demostrado por completo haasta 1995.
Además, en su carta incluyó una colección de potencias: los números primos de Germain.
Un número es primo si solo puede dividirse entre sí mismo y la unidad. Un primo es de Germain si el siguiente de su doble también es primo.
2→2·2+1=5 (primo)→ 2 es primo de Germain
3→2·3+1=7 (primo)→ 3 es primo de Germain
5→2·5+1=11 (primo)→ 5 es primo de Germain
7→2·7+1=15 (no primo)→ 7 no es primo de Germain
11→2·11+1=23 (primo)→ 11 es primo de Germain
También destacó por el Teorema de Sophie Germain, un enunciado sobre la divisibilidad de las soluciones de la ecuación
del Último Teorema de Fermat para p primo impar.
Sophie Germain probó que al menos uno de los níumeros x, y, z tiene que ser divisible por p² si puede encontrarse un primo auxiliar 𝞱 tal que se satisfacen las dos condiciones:
- No existen dos potencias p distintas de cero que difieran uno en módulo 𝞱.
- No existe ningún número p tal que p sea potencia de orden p módulo 𝞱 de él.
Una de sus más famosas identidades, conocida como Identidad de Sophie Germain, expresa:
x⁴+4y⁴= (x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy)
jueves, 6 de diciembre de 2018
Diofanto y las ecuaciones diofánticas
Diofanto de Alejandría fue un matemático griego, considerado el "padre del álgebra maestral".
Su renombre vino a partir de su obra "Arithmetica", en la que realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas). Está formada por una colección de problemas adecuados para soluciones enteras.
También es conocido por introducir un símbolo para la variable desconocida y para la sustracción en las ecuaciones. Además del empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos.
Las ecuaciones diofánticas se resuelven determinando qué números enteros la cumplen. Son ecuaciones algebraicas con dos o más incógnitas. Una condición necesaria para que ax+by=c con a, b, c pertenecientes al conjunto de números enteros tenga solución, es que el máximo común divisor de a y b divida a c.
Pueden ser lineales, en las que la solución puede ser general o particular; pitagóricas, también conocidas como ternas pitagóricas; o la ecuación diofántica cúbica, x³+y³=1729, cuyas soluciones son los pares ordenados (1,12) (12,1) (10,9) (9,10).
Su renombre vino a partir de su obra "Arithmetica", en la que realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas). Está formada por una colección de problemas adecuados para soluciones enteras.
También es conocido por introducir un símbolo para la variable desconocida y para la sustracción en las ecuaciones. Además del empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos.
Las ecuaciones diofánticas se resuelven determinando qué números enteros la cumplen. Son ecuaciones algebraicas con dos o más incógnitas. Una condición necesaria para que ax+by=c con a, b, c pertenecientes al conjunto de números enteros tenga solución, es que el máximo común divisor de a y b divida a c.
Pueden ser lineales, en las que la solución puede ser general o particular; pitagóricas, también conocidas como ternas pitagóricas; o la ecuación diofántica cúbica, x³+y³=1729, cuyas soluciones son los pares ordenados (1,12) (12,1) (10,9) (9,10).
Cardano y las Relaciones de Cardano-Vieta
Gerolamo Cardano fue un célebre matemático, médico y astrólogo italiano.
Destacó en la medicina, siendo el descubridor de la fiebre tifoidea; incluso atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews.
Sin embargo, es más conocido por sus trabajos de álgebra.
Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro "Ars magna" datado en 1545. En esta obra, además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x₁), donde x, es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica. Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha. Todavía utilizaba la Geometría para demostraciones algebraicas y todavía rehuía la utilización de números negativos. Sin embargo, el "Ars Magna" presenta una explicación completa de la ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios. En este libro, también se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida a su alumno, Ferrari, quien se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo.
En verdad se apropió de los resultados de Tartaglia y de Nicolo Ferrari, los descubridores de la solución de la ecuación cúbica y cuártica, publicándolos antes que ellos. Lo cual le ha hecho pasar a la historia.
También es famoso por plantear las Relaciones de Cardano-Vieta, cuyo enunciado es:
Con ellas podemos hallar las raíces de una ecuación de segundo grado de la siguiente manera:
Entonces:
La relación de Cardano-Vieta permite encontrar la ecuación de segurndo grado conocidas sus raíces x₁ y x₂ dada ax²+bx+c=0, si dividimos los dos miembros por a, nos queda: x²+b/a +c=0 o lo que es lo mismo: x²-s·x+p=0
Por lo tanto, toda ecuación ax²+bx+c=0 se puede factorizar de la forma a·(x-x₁)·(x-x₂)=0
Destacó en la medicina, siendo el descubridor de la fiebre tifoidea; incluso atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews.
Sin embargo, es más conocido por sus trabajos de álgebra.
Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro "Ars magna" datado en 1545. En esta obra, además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x₁), donde x, es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica. Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha. Todavía utilizaba la Geometría para demostraciones algebraicas y todavía rehuía la utilización de números negativos. Sin embargo, el "Ars Magna" presenta una explicación completa de la ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios. En este libro, también se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida a su alumno, Ferrari, quien se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo.
En verdad se apropió de los resultados de Tartaglia y de Nicolo Ferrari, los descubridores de la solución de la ecuación cúbica y cuártica, publicándolos antes que ellos. Lo cual le ha hecho pasar a la historia.
También es famoso por plantear las Relaciones de Cardano-Vieta, cuyo enunciado es:
Sea el polinomio perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces (pertenecientes a C)Estas relaciones sirven para obtener determinados polinomios conociendo sus raíces, o viceversa.
Con ellas podemos hallar las raíces de una ecuación de segundo grado de la siguiente manera:
Entonces:
- Su suma es s=x₁+x₂= -b/a
- Su producto p=x₁·x₂=c/aA estas relaciones, s y p, se las llama Relaciones de Cardano- Vieta.
La relación de Cardano-Vieta permite encontrar la ecuación de segurndo grado conocidas sus raíces x₁ y x₂ dada ax²+bx+c=0, si dividimos los dos miembros por a, nos queda: x²+b/a +c=0 o lo que es lo mismo: x²-s·x+p=0
Por lo tanto, toda ecuación ax²+bx+c=0 se puede factorizar de la forma a·(x-x₁)·(x-x₂)=0
Evaluación examen
Primero, mi compañera y yo, decidimos hacer lo que a simple vista era más fácil.
El ejercicio 4 se tardaba un poco al tener que operar con tanta fracción, pero era fácil: una vez que tienes solo una fracción en el denominador se multiplica el denominador de esta por el 1 del denominador y ya se obtiene el resultado.
El 5 era un poco largo, pues tantos términos en una ecuación lo complican más. Dejamos sin hacer la ecuación de radicales y la de logaritmos.
Mi compañera comenzó, mientras tanto, a hacer el ejercicio 6. La solución nos salió como un sistema incompatible porque en la cuarta fila el único número que aparecía era el del miembro derecho. Y 0 no puede ser igual que otro número.
Después, hicimos el ejercicio 9, el cual no nos pareció muy complicado, y los radicales del ejercicio 1.
Los ejercicios 2, 3 y 7 no logramos hacerlos, y las preguntas de teoría del ejercicio 1 y el ejercicio 10 no nos dio tiempo a hacerlos.
El ejercicio 4 se tardaba un poco al tener que operar con tanta fracción, pero era fácil: una vez que tienes solo una fracción en el denominador se multiplica el denominador de esta por el 1 del denominador y ya se obtiene el resultado.
El 5 era un poco largo, pues tantos términos en una ecuación lo complican más. Dejamos sin hacer la ecuación de radicales y la de logaritmos.
Mi compañera comenzó, mientras tanto, a hacer el ejercicio 6. La solución nos salió como un sistema incompatible porque en la cuarta fila el único número que aparecía era el del miembro derecho. Y 0 no puede ser igual que otro número.
Después, hicimos el ejercicio 9, el cual no nos pareció muy complicado, y los radicales del ejercicio 1.
Los ejercicios 2, 3 y 7 no logramos hacerlos, y las preguntas de teoría del ejercicio 1 y el ejercicio 10 no nos dio tiempo a hacerlos.
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